Родился в Армении в музыкальной семье. Обучаться игре на виолончели начал в возрасте пяти лет у Медеи Абрамян — ученицы Мстислава Ростроповича. Продолжил образование в специализированной музыкальной школе им. П. И. Чайковского в Ереване, затем — в Бельгии, где окончил Королевскую консерваторию Брюсселя в классе Вивиан Спаног с высшим отличием. Совершенствовал мастерство в Берлине, в Hochschule für Musik «Hanns Eisler», у Клаудио Бохоркеса.
Севак Аванесян — лауреат ряда престижных международных конкурсов. Он удостоен первых премий Европейского конкурса молодых солистов (Люксембург), Европейского конкурса Lions Club, Международного конкурса виолончелистов в Жерармере (Франция), а также наград Stichting Roeping и Golden Label Prize, присуждаемой Ассоциацией музыкальной прессы Бельгии. С 2013 по 2017 год он занимал должность солиста-виолончелиста Национального оркестра Бельгии.
Концертная деятельность музыканта охватывает ведущие залы и фестивали Европы, Америки и Австралии; он активно выступает как солист и камерный исполнитель, сотрудничая с выдающимися дирижёрами и музыкантами.
Важное место в его деятельности занимает культурная миссия. Севак Аванесян является основателем и художественным руководителем Международного музыкального фестиваля в Капане (Армения), регулярно работает в составе жюри международных конкурсов.
Музыкант играет на виолончели Маттео Гоффриллера 1689 года, доверенной ему Мишей Майским.